Question

已知A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站距市距离不得少于10km．已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.3．若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．
（1）把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域；
（2）核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A城供电费用y₁=0.3×20x²，B城供电费用y₂=0.3×10（100-x）²，总费用为y=y₁+y₂，根据x对应的实际意义，即可得到x的取值范围，从而得到函数的定义域；
（Ⅱ）因为函数y是二次函数，由二次函数的性质可得，当x=-

b

2a

时，函数y取得最小值，从而得到答案．

解答：解：（1）∵核电站距城市的距离不得少于10km，
又∵A、B两座城市相距100km，
∴x的取值范围为10≤x≤90，
∵供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.3，
又∵A城市供电量为20亿度/月，B城市为10亿度/月，
∴A城供电费用y₁=0.3×20x²，B城供电费用y₂=0.3×10（100-x）²，
∴总费用为y=6x²+3（100-x）²，
∴月供电总费用y=6x²+3（100-x）²，定义域为[10，90]；
（2）由（1）可知，y=6x²+3（100-x）²=9x²-600x+30000，
∴对称轴为x=-

-600

2×9

=

100

3

，图象开口向上，
∴则当x=

100

3

km时，y取得最小值，
答：当核电站建在距A城

100

3

km时，才能使供电总费用最小．

点评：本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题选择的数学模型为二次函数，对于二次函数要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．属于中档题．