Question

函数f(x)=2cos2x+2sinx+1，x∈[-

π

3

，

5π

6

]，求该函数的最大值和最小值以及取得最值时的x的值．

Answer 1

分析：利用同角三角函数的基本关系式以及配方化简函数的表达式，利用换元法，结合x的范围，通过二次函数的值域，求解三角函数的最值以及x的值．

解答：解：函数f(x)=2cos2x+2sinx+1，x∈[-

π

3

，

5π

6

]，
所以f（x）=2cos²x+2sinx+1=-2sin²x+2sinx+3=-2（sinx-

1

2

）²+

7

2

，
设t=sinx，因为x∈[-

π

3

，

5π

6

]∴t∈[-

3

2

，1]，
∴当t

1

2

时，f（x）max=

7

2

，此时x=

π

6

或x=

5π

6

，
当t=-

3

2

时，f（x）min=

3

2

-

3

，此时x=-

π

3

．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二次函数的最值的应用，转化思想以及计算能力．