Question

已知a＞0，函数f（x）=x|x-a|+1（x∈R）．
（1）当a=1时，求所有使f（x）=x成立的x的值；
（2）当a∈（0，3）时，求函数y=f（x）在闭区间[1，2]上的最小值；
（3）试讨论函数y=f（x）的图象与直线y=a的交点个数．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入f（x）=x|x-a|+1，解方程f（x）=x即可求得结果；
（2）去绝对值符号，f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，对a分情况讨论，0＜a≤1时，函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，求出函数的最小值；当1＜a≤2时，f（x）_min=f（a）=1；
当2＜a＜3时，x≤2＜a，数f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）a＞0时，求出函数在各段上的函数的最值和单调性，即可对a进行分类讨论，即可求得结果．

解答：解：（1）当a=1时，有x|x-1|+1=x
所以x=-1或x=1；
（2）f(x)=

x2-ax+1，x≥a -x2+ax+1，x＜a

，
1°．当0＜a≤1时，x≥1≥a，这时，f（x）=x²-ax+1，对称轴x=

a

2

≤

1

2

＜1，
所以函数y=f（x）在区间[1，2]上递增，f（x）_min=f（1）=2-a；
2°．当1＜a≤2时，x=a时函数f（x）_min=f（a）=1；
3°．当2＜a＜3时，x≤2＜a，这时，f（x）=-x²+ax+1，对称轴x=

a

2

∈(1，

3

2

)，
f（1）=a，f（2）=2a-3，∵（2a-3）-a=a-3＜0
所以函数f（x）_min=f（2）=2a-3；
（3）因为a＞0，所以a＞

a

2

，
所以y₁=x²-ax+1在[a，+∞）上递增；y₂=-x²+ax+1在(-∞，

a

2

)递增，在[

a

2

，a)上递减．
因为f（a）=1，所以当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
又f(

a

2

)=

a2

4

+1≥2•

a

2

•1=a，当且仅当a=2时，等号成立．
所以，当0＜a＜1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有1个交点；
当a=1时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当1＜a＜2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点；
当a=2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有2个交点；
当a＞2时，函数y=f（x）的图象与直线y=a有3个交点．

点评：本题考查二次函数在定区间上的最值问题和函数图象交点个数等知识，去绝对值求出函数的解析式，并对各段函数的最值的求解是解题的关键，考查运算能力和分析解决问题的能力，属难题．