Question

已知函数．
（I）若f（2^x）=2，求x的值；
（II）若tf（t²）+mf（t）≥0对于t∈[2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵2^x＞0
∴f（x）==2
∴2^2x-2•2^x-1=0
∴
∴
（II）∵t∈[2，4]
∴f（t）=t-，
∵tf（t²）+mf（t）≥0恒成立即恒成立
∴（t-）（t²+1+m）≥0
∵t∈[2，4]
∴
∴t²+1+m≥0
∴m≥-（t²+1）恒成立
当t∈[2，4]时，-（1+t²）∈[-17，-5]
∴m≥-5
分析：（I）由2^x＞0，直接代入可求f（x）=，结合f（x）=2可求2^x，进而可求x
（II）由t∈[2，4]可求f（t），f（t²），结合tf（t²）+mf（t）≥0恒成立可得恒成立，结合整理可得m≥-（t²+1）恒成立，从而转化为求解1+t²）的最大值即可
点评：本题主要考查了指数与对数相互转化的应用及恒成立问题的求解，属于函数知识的简单应用