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    【题目】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，圆台的侧面积为.若点分别为圆上的动点，且点在平面的同侧.

    （1）求证:；

    （2）若，则当三棱锥的体积取最大值时，求与平面所成角的正弦值.

    【答案】（1）详见解析；（2）.

    【解析】

    （1）根据圆台侧面积公式可以求出上下两底面的半径，根据线面垂直的性质、直角三角形的判断方法进行证明即可；

    （2）根据三棱锥的体积公式，结合基本不等式确定点位置，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

    （1）证明:设圆的半径分别为

    因为圆台的侧面积为，

    所以，可得

    因此，在等腰梯形中，.

    如图，连接线段，

    在圆台中，平面平面，

    所以.

    又，

    所以在中，.

    在中，，

    故，即.

    （2）解:由题意可知，三棱锥的体积为

    又在直角三角形中，

    所以当且仅当，

    即点为弧的中点时，有最大值

    连接，因为平面，

    所以以为坐标原点，

    分别以的方向为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

    点，

    由可知，

    设平面的法向量

    则，，

    取，

    则

    所以与平面所成角的正弦值为

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    （1）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）

    （2）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如下表：

    学生序号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    数学成绩

    60

    65

    70

    75

    85

    87

    90

    物理成绩

    70

    77

    80

    85

    90

    86

    93

    ①若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为，求的分布列和数学期望；

    ②根据上表数据，求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？

    附：线性回归方程，

    其中，.

    76

    83

    812

    526

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品.现统计得到相关统计情况如下：

    甲套设备的样本的频率分布直方图

    乙套设备的样本的频数分布表

    质量指标值

    频数

    1

    6

    19

    18

    5

    1

    （1）根据上述所得统计数据，计算产品合格率，并对两套设备的优劣进行比较；

    （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关.

    甲套设备

    乙套设备

    合计

    合格品

    不合格品

    合计

    附：

    0.15

    0.10

    0.050

    0.025

    0.010

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    参考公式：，其中

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪年代的万件提升到2018年的亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于)收费元，续重元(不足按算). (如:一个包裹重量为则需支付首付元，续重元，一共元快递费用)

    （1）若你有三件礼物重量分别为，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:合为一个包裹，一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？

    （2）对该快递点近天的每日揽包裹数(单位:件)进行统计，得到的日揽包裹数分别为件，件，件，件，件，那么从这天中随机抽出天，求这天的日揽包裹数均超过件的概率.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】改革开放以来，中国快递行业持续快速发展，快递业务量从上世纪年代的万件提升到2018年的亿件，快递行业的发展也给我们的生活带来了很大便利.已知某市某快递点的收费标准为:首重(重量小于等于)收费元，续重元(不足按算). (如:一个包裹重量为则需支付首付元，续重元，一共元快递费用)

    （1）若你有三件礼物重量分别为，要将三个礼物分成两个包裹寄出(如:合为一个包裹，一个包裹)，那么如何分配礼物，使得你花费的快递费最少？

    （2）为了解该快递点2019年的揽件情况，在2019年内随机抽查了天的日揽收包裹数(单位:件)，得到如下表格:

    包裹数(单位:件)

    天数(天)

    现用这天的日揽收包裹数估计该快递点2019年的日揽收包裏数.若从2019年任取天，记这天中日揽收包裹数超过件的天数为随机变量求的分布列和期望

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的方程为.

    （1）求曲线的极坐标方程；

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，矩形所在的平面与正三角形所在的平面互相垂直，为的中点，连接.

    （1）证明:平面平面；

    （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，.

    （Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.

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