Question

【题目】某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析。经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.

(I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中的值.

(II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记为身高在的学生人数,求的分布列和数学期望；

(Ⅲ)若变量满足且,则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由.

Answer 1

【答案】(I) 见解析;（Ⅱ）见解析；(Ⅲ) 见解析.

【解析】分析: (I)先求出身高高于1.70米的人数,再利用概率公式求这批学生的身高高于1.70 的概率.分别利用面积相等求出a、b、c的值. (II)先求出从这批学生中随机选取1名，身高在的概率，再利用二项分布写出的分布列和数学期望. (Ⅲ)先分别计算出和，再看是否满足且,给出判断.

详解： (I)由图2 可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70 的概率为0.15.

记为学生的身高，结合图1可得:

，

,

,

又由于组距为0.1,所以，

（Ⅱ）以样本的频率估计总体的概率，

可得: 从这批学生中随机选取1名，身高在的概率

.

因为从这批学生中随机选取3 名，相当于三次重复独立试验，

所以随机变量服从二项分布，

故的分布列为:

	0	1	2	3
	0.027	0.189	0.441	0.343

（或

(Ⅲ)由，取

由（Ⅱ）可知，,

又结合(I)，可得:

，

所以这批学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.