Question

【题目】（本小题满分12分）设函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）如果对所有的≥0，都有≤，求的最小值；

（Ⅲ）已知数列中， ，且，若数列的前n项和为，求证：

.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数在上单调递减，在单调递增；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．

【解析】试题（Ⅰ）先对函数求导，再对的取值范围进行讨论，即可得的单调性；（Ⅱ）设，先对函数求导，再对的取值范围进行讨论函数的单调性，进而可得的最小值；（Ⅲ）先由已知条件求出数列的通项公式和前项和，再把转化为，由（Ⅱ）可得， ，令，可得，进而可证，即可证．

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为， 1分

当时， ，当时， 2分

所以函数在上单调递减，在单调递增. 3分

（Ⅱ）设，则

因为≥0，故5分

（ⅰ）当时， ， ，所以在单调递减，而，所以对所有的≥0， ≤0，即≤；

（ⅱ）当时， ，若，则， 单调递增，而，所以当时， ，即；

（ⅲ）当时， ， ，所以在单调递增，而，所以对所有的， ，即；

综上， 的最小值为2. 8分

（Ⅲ）由得， ，由得， ，

所以，数列是以为首项，1为公差的等差数列，

故， ， 9分

由（Ⅱ）知时， ， ，

即， . 10分

法一：令，得，

即

因为11分

所以12分

故12分

法二：

下面用数学归纳法证明．

（1）当时，令代入，即得，不等式成立

（2）假设时，不等式成立，即

则时，

令代入，得

即

由（1）（2）可知不等式对任何 都成立.

故12分