Question

已知数列前n项的和为S_n，且有S_n+1=kS_n+2  (n∈N^*)，a₁=2，a₂=1.

（1）试证明：数列是等比数列，并求a_n；

（2），不等式恒成立，求正整数t的值；

（3）试判断：数列中任意两项的和在不在数列中？请证明你的判断。

Answer 1

解：（1）由S_n+1=kS_n+2  (n∈N^*)，a₁=2，a₂=1，令n=1得k=  ………1分

∴S_n+1=S_n+2，即S_n+1-4=(S_n-4)，                 ………………………2分

因为S₁-4=-2，∴是等比数列                ………………………3分

∴S_n-4=(-2) ()^n-1即S_n=4[1-()ⁿ]，从而求得a_n=()^n-2          ………………5分

（2）由得即

化简得：即……7分

∵∴

∴                           ………………………9分

∵a_n=()^n-2 ，S_n=4[1-()ⁿ] ∴

即对都成立，则…10分

易得关于n递减，关于n递增           ……………………11分

∴n=1时它们分别取得最大与最小，从而有即

∴t=3或4时成立。                                  ……………………12分

（3）不在。                                        ……………………13分

假设存在两项a_m,a_n的和在此数列中，设为第k项，即a_m+a_n=a_k(m,n,k互不相等)                                          

∵a_n=()^n-2是关于n单调递减，∴不妨设k<m<n则有()^m-2+()^n-2=()^k-2（*）

（*）式两边同乘以2^n-2，则有显然这是不可能成立的。………16分