Question

【题目】已知函数f（x）=sin（2x﹣ ）+2cos2x﹣1（x∈R）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）= ，b，a，c成等差数列，且 =9，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= = sin2x+ cos2x=sin（2x+ ）．

令 2kπ﹣ ≤（2x+ ）≤2kπ+ ，可得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈z．

即f（x）的单调递增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈z．

（2）解：在△ABC中，由 ，可得sin（2A+ ）= ，∵ ＜2A+ ＜2π+ ，

∴2A+ = 或 ，∴A= （或A=0 舍去）．

∵b，a，c成等差数列可得 2a=b+c，∵ =9，∴bc·cosA=9，即bc=18．

由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=4a2﹣54，

求得a2=18，∴a=3

【解析】（I）利用两角和差的三角公式化简f（x）的解析式，得到sin（2x+ ），由2kπ﹣ ≤（2x+ ）≤2kπ+ ，解出x的范围，即得f（x）的单调递增区间．

（II）在△ABC中，由 ，求得A的值；根据b，a，c成等差数列以及 =9，利用余弦定理求得a值．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦函数的单调性的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数．