Question

【题目】1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第个数为.在图2的杨辉三角中，第行是展开式的二项式系数，，…，，记杨辉三角的前行所有数之和为.

（1）求和的通项公式；

（2）当时，比较与的大小，并加以证明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ），证明见解析

【解析】

（Ⅰ）由正方形数的特点知，由二项式定理的性质，求出杨辉三角形第行个数的和，由此能求出和的通项公式；

（Ⅱ）由时，，时，，证明：时，时，可以逐个验证；证明时，时，可以用数学归纳法证明．

（Ⅰ）由正方形数的特点可知；

由二项式定理的性质，杨辉三角第行个数的和为，

所以.

（Ⅱ），，所以；

，，所以；

，，所以；

，，所以；

，所以；

猜想：当时，；当时，.

证明如下：

证法1：

当时，已证.

下面用数学归纳法证明：当时，.

①当时，已证：

②假设时，猜想成立，即，所以；

那么，，

所以，当时，猜想也成立．

根据①②，可知当时，.