Question

已知.
（1）若恒成立，求的最大值；
（2）若为常数，且，记，求的最小值.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：本题考查导数与函数及运用导数求单调区间、最值等数学知识，突出考查运用数学知识和方法分析问题解决问题的能力.第一问，是恒成立问题，先将恒成立问题转化为最值问题，求的最值是本问的关键，法一，利用基本不等式求最值，法二，利用导数求最值，无论用哪种方法都应注意函数的定义域；第二问，令，将进行转化，化简成的形式，利用二次函数的单调性求.
试题解析：（1）（解法一）
设，
∴，∴的最大值为.
（解法二）设，
，
∴，当时，，当时，，∴为极小值点，
∴，∴，∴的最大值为.
（2）设，则，则



令，则
即，
设，∵其对称轴，
在上单调递减，∴，
∴，.
考点：1.恒成立问题；2.基本不等式；3.利用导数求函数的单调区间和最值；4.二次函数的单调性和最值.