Question

【题目】如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为钝角α的角形耕地，其中．在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路、的距离、分别为，．现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园．设，，其中．

（1）试建立间的等量关系；

（2）为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置,使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．

Answer 1

【答案】（1）3x＋2y＝xy；（2）当AB＝10km时，最小面积为30km2

【解析】

（1）过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．由S△ABC＝S△ABP+S△APC，求得面积的表达式，从而求得x，y的关系.

（2）运用基本不等式可得最小值．

（1）过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F．因为P到AM，AN的距离分别为3，2，

即PE＝3，PF＝2．由S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝x3y2＝(3x＋2y)①

所以S△ABC＝xy② ，即3x＋2y＝xy．

（2）因为3x＋2y≥2，所以xy≥2．解得xy≥150．

当且仅当3x＝2y取“＝”，即x＝10，y＝15．

所以S△ABC＝xy有最小值30．

所以：当AB＝10km时，该工业园区的面积最小，最小面积为30km2