Question

已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆相内切。

(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；

(2)设直线: y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圆M：(x－2)²+x²=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.

∵|AM|=4<R，∴点A(－2，0)在圆M内，

设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r= |CA|，且|CM|=R－r，

即|CM+|CA|=8>|AM|，                                    ……3分

∴圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，

设其方程为(a>b>0)，则a=4，c=2，

∴b²=a²－c²=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为.

(2)由消去y 化简整理得：(3+4k²)x²+8kmx+4m²－48=0，

设B(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，则x₁+x₂=.

△₁=(8km)²－4(3+4k²) (4m²－48)>0.        ①           ……7分

由消去y 化简整理得：(3－k²)x²－2kmx－m²－12=0，

设E(x₃，y₃)，F(x₄，y₄)，则x₃+x₄=.

△₂=(－2km)²+4(3－4k²) (m²+12)>0.        ②           ……9分

∵，∴ (x₄－x₂ )+ (x₃－x₁) =0，即x₁+x₂= x₃+x₄，

∴，∴2km=0或，

解得k=0或m=0，                                   ……11分

当k=0时，由①、②得，

∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1，0，1，2，3；

当m=0时，由①、②得，

∵k∈Z，∴k=－1，0，1.

∴满足条件的直线共有9条.

【解析】略