Question

已知动圆C过点A（-2，0），且与圆M：（x-2）²+y²=64相内切
（1）求动圆C的圆心的轨迹方程；
（2）设直线l：y=kx+m（其中k，m∈Z）与（1）所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线

x2

4

-

y2

12

=1交于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量

DF

+

BE

=

0

，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由|AM|=4＜R得点A（-2，0）在圆M内，设动圆C的半径为r，依题意得r=|CA|，且|CM|=R-r，|CM+|CA|=8＞|AM|，由定义得圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，再根据a，b，c的关系解答即可．
（2）直线l：y=kx+m与

x2

16

+

y2

12

=1交于不同两点B，D，即x₁+x₂=-

8km

3+4k2

同理得x₃+x₄=

2km

3-k2

又因为

DF

+

BE

=

0

所以（x₄-x₂ ）+（x₃-x₁）=0即x₁+x₂=x₃+x₄
，∴2km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

又其中k，m∈Z即可求出k，m的数值．

解答：解：（1）圆M：（x-2）²+y²=64，圆心M的坐标为（2，0），半径R=8．
∵|AM|=4＜R，∴点A（-2，0）在圆M内，
设动圆C的半径为r，圆心为C，依题意得r=|CA|，且|CM|=R-r，
即
∴圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，
设其方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），则a=4，c=2，
∴b²=a²-c²=12，∴所求动圆C的圆心的轨迹方程为

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）由

y=kx+m x2 16 + y2 12 =1

消去y 化简整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-48=0，
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8km

3+4k2

．
△₁=（8km）²-4（3+4k²） （4m²-48）＞0．①
由

y=kx+m x2 4  - y2 12 =1

消去y 化简整理得：（3-k²）x²-2kmx-m²-12=0，
设E（x₃，y₃），F（x₄，y₄），则x₃+x₄=

2km

3-k2

．
△₂=（-2km）²+4（3-4k²） （m²+12）＞0．②
∵

DF

+

BE

=

0

，∴（x₄-x₂ ）+（x₃-x₁）=0，即x₁+x₂=x₃+x₄，
∴-

8km

3+4k2

=

2km

3-k2

，∴2km=0或-

4

3+4k2

=

1

3-k2

，
解得k=0或m=0，
当k=0时，由①、②得-2

3

＜m＜2

3

，
∵m∈Z，∴m的值为-3，-2，-1，0，1，2，3；
当m=0时，由①、②得-

3

2

＜m＜

3

2

，
∵k∈Z，∴k=-1，0，1．
∴满足条件的直线共有9条．

点评：本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识．