Question

【题目】设函数， ．

（Ⅰ）若，求的极小值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由；

（Ⅲ）设有两个零点，且成等差数列，试探究值的符号．

Answer 1

【答案】（1）极小值为0（2）k=2,m= -1（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）首先由,得到关于的两个方程,从而求出,这样就可得到的表达式,根据它的特点可想到用导数的方法求出的极小值; （Ⅱ）由（Ⅰ）中所求的和,易得到它们有一个公共的点,且和在这个点处有相同的切线,这样就可将问题转化为证明和分别在这条切线的上方和下方,两线的上下方可转化为函数与0的大小,即证和成立,从而得到和的值; （Ⅲ）由已知易得,由零点的意义,可得到关于两个方程,根据结构特征将两式相减,得到关于的关系式,又对求导,进而得到,结合上面关系可化简得: ,针对特征将当作一个整体,可转化为关于的函数,对其求导分析得, 恒成立.

试题解析：解：（Ⅰ）由，得，解得2分

则= ，

利用导数方法可得的极小值为5分

（Ⅱ）因与有一个公共点，而函数在点的切线方程为，

下面验证都成立即可 7分

由，得，知恒成立 8分

设，即，易知其在上递增，在上递减，

所以的最大值为，所以恒成立.

故存在这样的k和m，且10分

（Ⅲ）的符号为正. 理由为：因为有两个零点，则有

，两式相减得12分

即，于是

14分

①当时，令，则，且.

设，则，则在上为增函数．而，所以，即. 又因为，所以.

②当时，同理可得： .

综上所述： 的符号为正 16分