Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线交椭圆于两点，.

（1）若，且点满足，证明：点不在椭圆上；

（2）若椭圆的左，右焦点分别为，，直线与线段和椭圆的短轴分别交于两个不同点，，且，求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）直线的方程与椭圆联立，利用韦达定理以及，得出点的坐标，最后将点代入椭圆方程，即可得出结论；

（2）直线的方程与椭圆联立，利用韦达定理，求出以及的取值范围，进而得出的值，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质得出四边形面积的最小值.

设直线交椭圆于两点，

（1）把代入得

所以，

因为

所以，即

因为

所以点不在椭圆上；

（2）由代入得

则，

又，，

因为，所以，即

所以

因为直线与线段及椭圆的短轴分别交于不同两点

所以

又，则

故，

，即

因为，

所以

因为

所以

故当或时，四边形面积的最小值为.