Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求y=f（x）表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]的最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在[-1，0]上单调递减，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义及函数在极值点处的导数为0得到方程组，求出a，b，c的值．
（II）求出导函数，列出x、f'（x）、f（x）的关系表，由表求出函数的最大值．
（III）根据函数y=f（x）在[-1，0]上单调递减，令f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，利用二次函数的性质得到

f′(-1)=2b+3≤0 f′(0)=b≤0

，求出b的范围．

解答：解：（I）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f'（x）=3x²+2ax+b
由题知

f′(1)=3 3×1+1=f(1) f′(-2)=0

⇒

2a+b+3=3 4=1+a+b+c 12-4a+b=0

⇒

a=2 b=-4 c=5

所以f（x）=x³+2x²-4x+5
（II）f'（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），则x、f'（x）、f（x）的关系如下表．

x	-3	（-3，-2）	-2	(-2，  2 3 )	2 3	( 2 3 ， 1)	1
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8	↑	极大	↓	极小	↑	4

∵f（x）_极大=f（-2）=13，f（-3）=8，f（1）=4
∴f（x）在[-3，1]的最大值为13
（III）由题意知，f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，
由（I）知即f'（x）=3x²+-bx+b=3x²+b≤0在[-1，0]上恒成立，
利用二次函数的性质，有

f′(-1)=2b+3≤0 f′(0)=b≤0

，
从而得b≤-

3

2

点评：本题考查利用函数的导数解决曲线的切线斜率问题；利用导数求函数的单调性问题及利用导数求函数的最值、极值问题．