Question

（2009•武昌区模拟）设函数f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(m，cosx)，

b

=(1+sinx，1)，x∈R，且f(

π

2

)=2．   
（Ⅰ）求实数m的值； 
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量

a

=(m，cosx)，

b

=(1+sinx，1)，函数f(x)=

a

•

b

，根据向量数量积运算法则，我们易求出函数的解析式，结合f(

π

2

)=2，我们可以构造一个关于m的方程，进而求出m的值．
（II）由（I）中结论，我们可以求出函数f（x）的解析式，利用辅助角公式，我们可将其化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质，求出函数f（x）在区间[-

π

2

，

π

2

]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=m(1+sinx)+cosx．（3分）
由f(

π

2

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，得m=1． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sinx+cosx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1．（8分）
由-

π

2

≤x≤

π

2

，得-

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

．
∴当x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

时，函数f（x）有最大值

2

+1．（12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，平面向量数量积的运算，其中（I）的关键是根据平面向量数量积的运算公式，结合f(

π

2

)=2，构造一个关于m的方程，（II）的关键是辅助角公式，将函数f（x）的解析式化为正弦型函数的形式．