Question

（08年昆明市适应考试）（12分）设点，动圆经过点且和直线：相切. 记动圆的圆心的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设点为直线上的动点，过点作曲线的切线（为切点），

证明：直线必过定点并指出定点坐标.

Answer 1

解析：（Ⅰ）过点作垂直直线于点

依题意得：，

所以动点的轨迹为是以为焦点，直线为准线的抛物线，

即曲线的方程是                                ………………………4分

（Ⅱ）设、 ，  ，则

由知，， ∴，

又∵切线AQ的方程为：，注意到

切线AQ的方程可化为：；

由在切线AQ上， ∴    

于是在直线上

同理，由切线BQ的方程可得：   

于是在直线上

所以，直线AB的方程为：，

又把代入上式得：

∴直线AB的方程为：

∴直线AB必过定点.              ………………………12分

（Ⅱ）解法二：设，切点的坐标为，则

由知，，得切线方程：

即为：，又∵在切线上，

所以可得：，又把代入上式得：

，解之得： 

∴，

故直线AB的方程为：

化简得：

∴直线AB的方程为：

∴直线AB必过定点.