Question

已知各项均为正数的数列满足，且，其中.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足是否存在正整数m、n（1<m<n），使得成等比数列？若存在，求出所有的m、n的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）数列的通项公式为；（Ⅱ）存在，，．

解析试题分析：（Ⅰ）求数列的通项公式，首先须知道数列的特征，由题意可得，，由于各项均为正数，故有?即，这样得到数列是公比为的等比数列，由可求出，从而可得数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足是否存在正整数，使得成等比数列，首先求出数列的通项公式，，然后假设存在正整数，使得成等比数列，则，整理可得，只要即可，解不等式求出的范围，看是否有正整数，从而的结论．
试题解析：（Ⅰ）??因为?即?
又?所以有?即
所以数列是公比为的等比数列?
由得?解得。
从而，数列的通项公式为。        6分
（II）=，若成等比数列，则，
即．
由，可得，
所以，解得：。
又，且，所以，此时．
故当且仅当，?使得成等比数列。        13分
考点：等比数列的定义，及通项公式，探索性命题．