(1)在侧棱BB1上找一点D,使得BC1⊥AD,并说明理由;
(2)若点D满足条件(1),求二面角A-DC1-C的大小.
解:(1)D点满足4BD=BB1.
证明如下:连接BA1,∵ABC—A1B1C1是直三棱柱,∴面A1B1C1⊥面ABB1A1.
又∵∠BAC=90°,∴C1A1⊥A1B1.∴C1A1⊥面ABB1A1.∴C1A1⊥BA1.
由AA1=2AB,4BD=BB1得=2.
∴△A1AB∽△ABD.∴AD⊥A1B.又∵A1B∩A1C1=A1,∴AD⊥面A1BC1.∴BC1⊥AD.
由以上证明可知D点唯一存在.(注:也可以用三垂线定理证明.)
(2)过A作AO⊥BC于O,∵ABC—A1B1C1是直三棱柱,∴AO⊥面BCC1B1.
设AB=a,可得AO=a,
过O作OE⊥DC1于E,连接AE,由三垂线定理可得∠AEO为二面角ADC1C的平面角,
连接OC1、OD,
∵=-S△BOD--=2aaaa=a=×DC1×OE=a×OE,∴OE=a.
∴tan∠AEO=.∴二面角A-DC1-C的大小为arctan.
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