【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若,求a的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1)求出导数后,对分类讨论,利用导数可求得函数的单调区间;
(2)分离参数后得在上恒成立,再构造函数利用导数求出最大值即可得到答案.
(1),
由定义域为,所以.
当时,,由,得,由,得,
所以函数的单调递减区间为,递增区间为;
当时,令,则或,
当时,,恒成立,
所以函数的递增区间为,无减区间;
当时,,由,得或,由,得,
所以函数的单调递减区间为,递增区间为和;
当时,,由,得或,由,得,
所以函数的单调递减区间为,递增区间为和.
综上,当时,函数的单调递减区间为,递增区间为;
当时,函数的递增区间为,无减区间;
当时,函数的单调递减区间为,递增区间为和;
当时,函数的单调递减区间为,递增区间为和.
(2)依题意得,在恒成立.
①当时,不等式显然成立;
②当时,,即成立,
设,则,
设,则在单调递减,,
所以,当时,,,单调递增;
当时,,,单调递减.
所以
所以,解得.
综上,当时,.
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【题目】如图,一颗棋子从三棱柱的一个项点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为,刚开始时,棋子在上底面点处,若移了次后,棋子落在上底面顶点的概率记为.
(1)求,的值:
(2)求证:.
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【题目】如图,四边形ABCD是边长为4的菱形,∠BAD=60°,对角线AC与BD相交于点O,四边形ACFE为梯形,EF//AC,点E在平面ABCD上的射影为OA的中点,AE与平面ABCD所成角为45°.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACF;
(Ⅱ)求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值.
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【题目】已知椭圆E:()的焦点为,以原点O为圆心,椭圆E的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点F的直线l交椭圆E于M,N两点,点P的坐标为,直线与x轴交于A点,直线与x轴交于B点,求证:.
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【题目】己知椭圆过点,,是两个焦点.以椭圆的上顶点为圆心作半径为的圆,
(1)求椭圆的方程;
(2)存在过原点的直线,与圆分别交于,两点,与椭圆分别交于,两点(点在线段上),使得,求圆半径的取值范围.
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【题目】已知一条曲线C在y轴右侧,曲线C上任意一点到点的距离减去它到y轴的距离都等于1.
(1)求曲线C的方程;
(2)直线与轨迹C交于A,B两点,问:在x轴上是否存在定点,使得直线与关于x轴对称而与直线的位置无关,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率为是上一点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点,平行于的直线交于异于的两点.点关于原点的对称点为.证明:直线与轴围成的三角形是等腰三角形.
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