Question

【题目】己知椭圆过点，，是两个焦点．以椭圆的上顶点为圆心作半径为的圆，

（1）求椭圆的方程；

（2）存在过原点的直线，与圆分别交于，两点，与椭圆分别交于，两点（点在线段上），使得，求圆半径的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题意结合椭圆性质可得，进而可得，即可得解；

（2）当直线斜率不存在时，；当直线斜率存在时，设直线方程为：， ，，联立方程后利用弦长公式可得，由圆的性质可得，转化条件得，可得，即可得解.

（1）设椭圆的焦距为，

由题意，，所以，，

故椭圆的方程为；

（2）当直线斜率不存在时，圆过原点，符合题意，；

当直线斜率存在时，设直线方程为：，，，

由直线与椭圆交于、两点，

则，所以，，

则，

所以，

点到直线的距离，则 ，

因为，点在线段上，所以点在线段的延长线上，

只需即，

所以，

则

因为，

所以，所以，；

综上，的取值范围为.