Question

如图所示，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD=DC，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面BDE；
（2）证明：平面ADE⊥平面PBC；
（3）求直线AE与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC交BD于O，连接EO．可得△PAC中，OE是中位线，从而OE∥PA．再由线面平行判定定理，即得PA∥平面BDE；
（2）根据线面垂直的判定与性质，证出BC⊥平面PCD，从而DE⊥BC．利用等腰△PDC的“三线合一”证出DE⊥PC，进而得到DE⊥平面PBC，最后用面面垂直的判定定理可证出平面ADE⊥平面PBC；
（3）取CD中点，连接AH、EH，△PDC中利用中位线定理得到EH∥PD，可得EH⊥平面ABCD，∠EAH就是直线AE与平面ABCD所成角．再在Rt△AEH中利用余弦的定义，即可求出直线AE与平面ABCD所成角的余弦值．

解答：解：（1）连接AC，交BD于O，连接EO．
∵四边形ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵△PAC中，E为PA的中点，
∴OE是△PAC的中位线，可得OE∥PA．
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC
又∵CD⊥BC，PD、CD是平面PCD内的相交直线
∴BC⊥平面PCD，结合DE?平面PCD，得DE⊥BC，
∵△PCD中，PD=DC，E为P中点，∴DE⊥PC，
∵PC、BC是平面PBC内的相交直线
∴DE⊥平面PBC
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面PBC；
（3）取CD中点，连接AH、EH
∵△PCD中，E、H分别为PC、CD的中点
∴EH∥PD，结合PD⊥平面ABCD，可得EH⊥平面ABCD
因此，AH就是AE在平面BACD内的射影
∴∠EAH就是直线AE与平面ABCD所成角
∵Rt△AEH中，AH=

AD2+DH2

=

5

，EH=

1

2

PD=1
∴AE=

AH2+EH2

=

6

，可得cos∠EAH=

AH

AE

=

30

6

即直线AE与平面ABCD所成角的余弦值为

30

6

点评：本题考查了平面和平面垂直的判定、直线和平面所成的角等知识，属于中档题．运用中位线定理求空间角并证明线面平行，使问题得以解决，是处理本题的关键．