Question

设椭圆M：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

7

4

，点A（0，a），B（-b，0），原点O到直线AB的距离为

12

5

，P是椭圆的右顶点，直线l：x=my-n与椭圆M相交于C，D两点，且

PC

⊥

PD

．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证：直线l的横截距n为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

7

16

，得a=

4

3

b，由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为

x

-b

+

y

a

=1，再由点O到直线AB的距离

|0+0+4b|

| 42+32

=

4

5

b=

12

5

，知b=3，由此能够得到椭圆M的方程．
（Ⅱ）P（3，0），设C（x₁，y₁），（x₂，y₂），将x=my+n代入

y2

16

+

x2

9

=1，得（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0，则y₁+y₂=

-32mn

16m2+9

，y₁y₂=

16n2-144

16m2+9

．由

PC

•

PD

=0，知（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0，由x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn，知（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，由此能够证明直线l的横截距n为定值．

解答：解：（Ⅰ）由e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

7

16

，得a=

4

3

b （2分）
由点A（0，a），B（-b，0）知直线AB的方程为

x

-b

+

y

a

=1，即l_AB：4x-3y+4b=0
又原点O到直线AB的距离

|0+0+4b|

| 42+32

=

4

5

b=

12

5

，∴b=3，（4分）
∴b²=9，a²=16
从而椭圆M的方程为：

y2

16

+

x2

9

=1．（5分）
（Ⅱ）易知P（3，0），设C（x₁，y₁），（x₂，y₂），将x=my+n代入

y2

16

+

x2

9

=1化简整理得
（16m²+9）y²+32mny+16n²-144=0
则y₁+y₂=

-32mn

16m2+9

，y₁y₂=

16n2-144

16m2+9

．（8分）
而

PC

•

PD

=0?（x₁-3，y₁）•（x₂-3，y₂）=0即（x₁-3）•（x₂-3）+y₁y₂=0
又x₁=my₁+nn，x₂=my₂+nn
∴（my₁+n-3）•（my₂+n-3）+y₁y₂=0，
整理得（m²+1）y₁y₂+m（n-3）（y₁+y₂）+（n-3）²=0 （10分）
即（m²+1）×

16n2-144

16m2+9

+m（n-3）×

-32mn

16m2+9

+（n-3）²=0
易知n≠3，∴16（m²+1）（n+3）-32m²n+（16m²+9）（n-3）=0
展开得25n+21=0?n=-

21

25

∴直线l的横截距n为定值 （12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线l的横截距n为定值的证明，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和合理地进行等价转化．