Question

已知圆C的方程为：x²+y²+2x-4y-20=0，
（1）若直线l₁过点A（2，-2）且与圆C相切，求直线l₁的方程；
（2）若直线l₂过点B（-4，0）且与圆C相交所得的弦长为8，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）先判断点A位置，因为A点满足圆方程，所以A点在圆上，则圆心与A点连线垂直于切线，只需求出圆心与A点连线的斜率，切线斜率就可求出，再用点斜式写出方程即可．
（2）在圆中，半径，半弦，弦心距构成直角三角形，因为圆的半径和半弦已知，利用勾股定理就可求出圆心到直线l₂的距离，再分斜率存在和不存在两种情况设出直线l₂的方程，利用点到直线的距离公式，求出参数的值，就可得到直线l₂的方程．

解答：解：圆C的方程化为：（x+1）²+（y-2）²=25，圆心C（-1，2），半径r=5，
（1）易知A（2，-2）在圆C上，则l₁⊥AC，可求得k_AC=-

4

3

，∴kl1=

3

4

；
则直线l₁的方程为：y+2=

3

4

（x-2）．即3x-4y-14=0 
（2）设圆心到直线l₂的距离为d，
∵弦长为8，又圆的半径r=5，∴d=3
①若l₂斜率不存在，∵过点B（-4，0），即l₂方程为x=-4，
此时 圆心C（-1，2）到l₂的距离为3，所以方程x=-4符合题意； 
②若l₂斜率存在，∵过点B（-4，0），
设l₂方程为y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
∵圆心C（-1，2）到l₂的距离为3，
∴

|-k-2+4k|

k2+1

=3，解得k=-

5

12

此时l₂方程为：5x+12y+20=0
综上得直线l₂方程为：x+4=0或5x+12y+20=0；

点评：本题主要考查了已知切点坐标求切线方程，圆的几何性质的应用，以及点到直线的距离公式的应用．属于综合题．