Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是棱AA₁、CC₁的中点．
（1）求点E到面对角线BD的距离；
（2）求证：四边形BED₁F是菱形．

Answer 1

分析：（1）连结AC与BD交于O点，连EO，利用线面垂直的性质与判定证出EO⊥BD，从而点E到面对角线BD的距离即为EO的长，在Rt△EAO中利用勾股定理算出EO=

3

2

，即得点E到面对角线BD的距离；
（2）DD₁的中点M，连结AM、FM，证出FM与AB平行且相等，得到四边形FMAB为平行四边形，从而得到平行四边形
AMD₁E中ED₁与AM平行且相等，从而得到四边形EBFD₁是平行四边形，再算出EB=BF即可证出四边形EBFD₁是菱形．

解答：解：（1）连结AC与BD交于O点，连EO，则BD⊥AO
∵EA⊥平面ABCD，∴EO在平面ABCD上的射影为AO
结合BD⊥AO，得EO⊥BD
∴点E到面对角线BD的距离即为EO的长…（3分）
在Rt△EAO中，EA=

1

2

，∠EAO=90°，AO=

2

2

，
∴EO=

EA2+AO2

=

3

2

即点E到面对角线BD的距离为

3

2

…（6分）
（2）取DD₁的中点M，连结AM、FM
∵FM∥CD∥AB，且FM=CD=AB，∴四边形FMAB为平行四边形
可得BF∥AM，且BF=AM
又∵四边形AMD₁E也是平行四边形，
∴ED₁∥AM，且ED₁=AM
∴BF∥ED₁，且BF=ED₁，可得四边形EBFD₁是平行四边形，（10分）
又∵EB=

5

2

=BF，∴四边形EBFD₁是菱形…（12分）

点评：本题在正方体中求点线距离，并证明四边形为菱形，着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质、勾股定理和平行四边形形的判定与性质等知识，属于中档题．