Question

下列函数中，满足“对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立”的是（　　）

• A．f（x）=

  1

  x

• B．f（x）=ln（x+1）
• C．f（x）=(

  1

  2

  )x
• D．f（x）=|x-1|

Answer 1

分析：由题意知f（x）在（0，+∞）上单调递增，据此对选项逐项判断即可．

解答：解：由题意：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，知f（x）在（0，+∞）上单调递增，
f（x）=

1

x

在（0，+∞）上递减，故排除A；
f（x）=(

1

2

)x在（0，+∞）上递减，故排除C；
f（x）=|x-1|在（-∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增，所以f（x）在（0，+∞）上不单调，故排除D；
而f（x）=ln（1+x）在（0，+∞）上递增，
故选B．

点评：本题考查基本函数的单调性，熟练掌握基本函数的单调性是解决本题的基础，解决本题的关键是正确理解题意，对问题进行合理转化．