Question

正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱长为1，则下列四个问题
（1）对角线A₁C与所有棱所成角的正切值都等于

2

（2）点A、C到面BC₁D的距离相等
（3）AD₁与面BC₁D所成角为0°
（4）面A₁ACC₁⊥面BC₁D
其中正确的个数有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：利用空间角的定义和距离公式和面面垂直的判定定理分别判断．

解答：解：（1）根据正方体的对称性可知对角线A₁C与所有棱所成角都相同，则对应的角的正切值为tanA1CB=

A1B

BC

=

2

，
所以（1）正确．
（2）如图，连结AP，则AP∥面BC₁D，所以点A到平面BC₁D的距离和点P到平面BC₁D的距离相等，又因为OCC₁P为矩形，所以C，P到平面BC₁D的距离相等，
所以点A、C到面BC₁D的距离相等，所以（2）正确．
（3）因为AD₁?ABC₁D₁，所以AD₁?面BC₁D，所以AD₁与面BC₁D所成角为0°，
所以（3）正确．
（4）在正方体中，BD⊥AA₁C₁C，因为BD?BC₁D，所以面A₁ACC₁⊥面BC₁D成立，
所以（4）正确．
故正确的个数有4个．
故选D．

点评：本题主要考查空间直线，平面之间距离和夹角的求法，要求熟练掌握空间角和空间距离的定义和公式．