Question

【题目】已知函数，，.

（1）若，.

①当时，证明：；

②若有两个不相等的零点，且，证明：；

（2）讨论的单调性.

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析②证明见解析；（2）当时，在上单调递增，在单调递减；当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

【解析】

（1）①表示出的解析式，代入，求得，即可根据函数的符号判断的单调性，从而求得最小值，即可证明不等式成立；②根据零点定义可代入的解析式，相减后根据对数运算表示出令，即可用表示构造函数，并求得导函数，即可由的符号确定的单调性，从而求得的最大值，即可得.从而，即可证明.

（2）将代入可得解析式，并求得，并令。对分、、和四种情况讨论，即可确定的符号，从而判断的单调性.

（1）证明：，.

（i）当时，，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故.

（ii）由题意得，，，

两式相减得，

，，.

令，其中，则，

令，则，

所以在上是增函数，

故，即，即.

，，

即，

.

（2），

的定义域为，且.

令，，

当时，在上恒成立，即恒成立，

所以在上单调递增；

当时，令，得，，

所以当时，，即，单调递增，

当时，，即，单调递减；

当时，，在上恒成立，即在上恒成立，所以在上单调递增；

当时，，

当时，，即，单调递减，

当时，，即，单调递增.

综上所述，当时，在上单调递增，在单调递减，

当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.