Question

如图，空间直角坐标系O-xyz中，已知A（1，0，0），B（0，2，0），现将△AOB按向量平移到△A'O'B'．
（Ⅰ）写出三点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ）求证：AB'⊥BO'；
（Ⅲ）求二面角A-BB'-O的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先分别写出的坐标，即可得到点A'、O'、B'的坐标；
（Ⅱ） 要证AB'⊥BO'；只需证明对应的数量积为0即可；
（Ⅲ） 先求平面的法向量，再利用向量的数量积公式求面面角．
解答：解：（Ⅰ）=（1，0，0）+（0，-1，，-1，，
同理，2，0）+（0，-1，=（0，1，，又，-1，，
所以A'（1，-1，，O'（0，-1，，B'（0，1，；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），1，，0，0）=（-1，1，，，-1，，2，0）=（0，-3，，
而，所以，即AB'⊥BO'；
（Ⅲ）设平面ABB'的法向量为，y，z），则且，
所以且，即，取z=1，得，，
所以，，1）．又平面OBB'的一个法向量是，0，0），，
所以，从而二面角A-BB'-O的大小为30°．
点评：本题的考点是用空间向量求平面角的夹角，主要考查空间向量的运用，考查向量的数量积公式，属于中档题．