Question

【题目】已知为椭圆上的三个点，为坐标原点.

（1）若所在的直线方程为，求的长；

（2）设为线段上一点，且，当中点恰为点时，判断的面积是否为常数，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）定值为

【解析】

试题（1）因为求所在的直线方程为与椭圆方程相交所得的弦长.一般是通过联立两方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，可以解得两个交点的坐标的横坐标，确定点的坐标，从而根据两点的距离公式求出弦长.

（2）直线与圆的位置关系，首先考虑直线的斜率是否存在，做好分类的工作.若当斜率存在时，通过联立方程，应用韦达定理知识，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出三角形的高的长.从而写出三角形的面积（含斜率的等式）.再根据的关系求出点P的坐标，带到椭圆方程中，即可求出含斜率的一个等式，从而可得结论.

试题解析：（1）由 得，

解得或，

所以两点的坐标为和所以.

（2）①若是椭圆的右顶点（左顶点一样），则，

因为，在线段上，所以，求得，

所以的面积等于.

②若B不是椭圆的左、右顶点，设，，

由 得

，，

所以，的中点的坐标为，

所以，代入椭圆方程，化简得.

计算.

因为点到的距离

所以，的面积.

综上，面积为常数.