Question

（08年湖南六校联考理） 长、株、潭新工业区某品牌饮料生产企业，其产品开发中心主要从事新产品的研制和开发，该中心的第三实验室的主要任务是对新开发的不同口感的饮料进行口感调和试验。口感的度量指标称为“口感度”，即该饮料中所含某主要成分的百分比。现有甲、乙两个容器分别盛有口感度为10%、20%的某种饮料各500ml，实验人员对它们进行口感调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；……依照上述操作程序反复进行调和试验，记第次调和后甲、乙两溶液中饮料的口感度分别为和。

       （1）试写出、的值；

       （2）依据调和程序，试用表示甲、乙两个容器中两种饮料的口感度的差；

       （3）试求出第次调和后甲、乙两个容器中的口感度、关于的表达式。

Answer 1

解析：（1）依题设。（2分）

       （2），（4分）

       。

      

       可知数列为等比数列，首项，公比为，

       所以（9分）

       （3）由（2）……①

       又………②（10分） 

       联立①②得

       （13分）