对于函数f(x).若存在x0∈R.使f(x0)=x0成立.则称x0为f(x)的不动点. 已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0). (1)当a=1.b=-2时.求函数f(x)的不动点, (2)若对任意实数b.函数f(x)恒有两个相异的不动点.求a的取值范围, (3)在(2)的条件下.若y=f(x)图象上A.B两点的横坐标是函数f(x)的不动点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点.

已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+（b－1）（a≠0）.

（1）当a=1，b=－2时，求函数f（x）的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上A、B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+对称，求b的最小值.

答案：
解析：

解：（1）f（x）=x²－x－3，因为x₀为不动点，因此有f（x₀）=x₀²－x₀－3=x₀

所以x₀=－1或x₀=3，所以3和－1为f（x）的不动点.

（2）因为f（x）恒有两个不动点，f（x）=ax²+（b+1）x+（b－1）=x，ax²+bx+（b－1）=0（※），由题设b²－4a（b－1）＞0恒成立，即对于任意b∈R，b²－4ab+4a＞0恒成立，所以有（4a）²－4（4a）＜0a²－a＜0，所以0＜a＜1.

（3）由（※）式，得，由题设k=－1，即y=－x+，设A、B的中点为E，则E（），因为x_E=y_E，所以－

所以有b=－，因为0＜a＜1.当且仅当2a=时，即a=时，b取得最小值，其最小值为－.

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（填出所有满足条件的函数序号）

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．

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x2+a

bx-c

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．
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）=1，其中S_n表示数列{a_n}的前n项和，求证：(1-

)an+1＜

＜(1-

)an
（3）在（2）的前题条件下，设b_n=-

，T_n表示数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₁-1＜ln2011＜T₂₀₁₀．

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