Question

【题目】如图所示，四面体ABCD中，已知平面BCD⊥平面ABC，BD⊥DC，BC=6，AB=4 ，∠ABC=30°．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若二面角B﹣AC﹣D为45°，求直线AB与平面ACD所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：△ABC中，由余弦定理得AC2=36+48﹣2× =12，

∴ ，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC．

又平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，AC平面ABC，

∵AC⊥平面BCD．又∵BD平面BCD，

∴AC⊥BD．

（2）解：∵AC⊥平面BCD，CD平面BCD，

∴AC⊥CD．又∵BC⊥AC，

∴∠BCD是平面DAC与平面BAC所成的二面角的平面角，即∠BCD=45°．

∵BD⊥CD，AC⊥BD，CD平面ACD，AC平面ACD，CD∩AC=C，

∴BD⊥平面ACD．

∴∠BAD是AB与平面ACD所成的角．

Rt△ACD中， ，

∴ ．

即求直线AB与平面ACE所成的角的正弦值为 ．

【解析】（1）利用余弦定理计算AC，得出AC⊥BC，再利用面面垂直的性质得出AC⊥平面BCD，从而有AC⊥BD；（2）证明BD⊥平面ACD，于是∠BAD为所求角，先计算BD，在Rt△ABD中计算sin∠BAD．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用空间中直线与直线之间的位置关系和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．