Question

对于定义在实数集上的两个函数，若存在一次函数使得，对任意的，都有，则把函数的图像叫函数的“分界线”。现已知（，为自然对数的底数），
（1）求的递增区间；
（2）当时，函数是否存在过点的“分界线”？若存在，求出函数的解析式，若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）①若，则，此时的递增区间为；
②若，则或，此时的递增区间为；
③若，则的递增区间为；
④若，则或，此时的递增区间为。
（2）存在函数的图像是函数过点的“分界线”

解析试题分析：解：（1），
由得
①若，则，此时的递增区间为；
②若，则或，此时的递增区间为；
③若，则的递增区间为；
④若，则或，此时的递增区间为。
（2）当时，，假设存在实数，使不等式对恒成立，由得到对恒成立， 则，得，
下面证明对恒成立。
设，，，
且时，，，
时，，
所以，即对恒成立。
综上，存在函数的图像是函数过点的“分界线”。
考点：导数的运用
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数单调性，以及导数几何意义的运用，属于中档题。