Question

【题目】设函数

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数存在两个极值点，

①求实数的范围；

②证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明详见解析．

【解析】

试题本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、利用导数求曲线的切线方程等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，将代入，对求导，切点的纵坐标为，斜率为，利用点斜式写出切线方程；第二问，对求导，令，将函数存在两个极值点，转化为方程有两个不同的正根，利用二次函数的图象分析列出不等式，解出a的取值范围；对求导，求出的根，得到的表达式，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出最小值，即证明了结论．

试题解析：（1）当a＝2时，，，

则，，所以切线方程为．4分

（2）（），令，得，

①函数有两个极值点等价于方程有两个不同的正根，

设，所以，

所以函数有两个极值点，，则，

②由，得，则，，，

在区间上递减，，

所以