Question

在一个半径为1的半球材料中截取三个高度均为h的圆柱，其轴截面如图所示，设三个圆柱体积之和为V=f（h）．
（1）求f（h）的表达式，并写出h的取值范围是；
（2）求三个圆柱体积之和V的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据根据球的截面圆性质，得自下而上三个圆柱的底面半径r₁、r₂、r₃关于h的函数关系式，再结合圆柱的体积公式，可得三个圆柱体积之和为V=f（h）的表达式．根据三个圆柱高度之积小于球半径，得到h的取值范围．
（2）利用导数工具，研究f（h）的单调性，可得f（h）在上为增函数，在上为减函数，从而得到f（h）的最大值为．
解答：解：（1）设自下而上三个圆柱的底面半径分别为r₁、r₂、r₃，
根据球的截面圆性质，可得，
，． …（3分）
它们的高均为h，所以体积和等于

=π[（1-h²）+（1-4h²）+（1-9h²）]h=π（3h-14h³）（6分）
因为三个圆柱高度之积小于球半径，所以0＜3h＜1，得h的取值范围是；  …（7分）
（2）由f（h）=π（3h-14h³）得f'（h）=π（3-42h²）=3π（1-14h²），…（9分）
又∵，
∴时，f'（h）＞0；时，f'（h）＞0．（11分）
可得f（h）在上为增函数，在上为减函数，
因此，当时，f（h）取最大值，这个最大值为．  …（13分）
答：三个圆柱体积和V的最大值为． …（14分）
点评：本题以导数为工具，求三个圆柱体积之和的最大值，着重考查了球的截面圆性质、圆柱体积公式和利用导数研究函数单调性等知识，属于中档题．