Question

【题目】已知函数，且满足.

（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；

（2）设函数，若在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；

（3）若存在实数，使得关于的方程恰有4个不同 的正根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上为增函数；证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

(1)由与可得,再判断函数在上的单调性即可.

(2)根据(1)中的单调性,再求解在上的单调性,再根据函数性质进行范围分析即可.

(3)将方程化简为,利用复合函数零点的方法,先分析关于的二次函数的根的问题,再根据零点存在性定理列式求不等式即可.

（1）由，得或0.

因为，所以，所以.

当时，，任取，且，

则

，

因为，则，，

所以在上为增函数；

（2）由（1）可知，在上为增函数,当时，

同理可得在上为减函数，当时，.

所以；

（3）方程可化为，

即.

设,方程可化为.

要使原方程有4个不同的正根，

则方程在有两个不等的根，

则有，解得，

所以实数m的取值范围为.