Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=4，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁．
（1）求几何体ABCD-A₁C₁D₁的体积；
（2）求直线BD₁与面A₁BC₁所成角的大小．（用反三角表示）

Answer 1

分析：（1）由已知中，图示的几何体ABCD-A₁C₁D₁是由过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁得到，故VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1，将AB=BC=2，AA₁=4代入即可得到答案．
（2）解以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出直线BD₁的方向向量及平面A₁BC₁的法向量，代入直线与平面夹角的向量法公式，即可求出答案．

解答：解（1）VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=4A1A-

2

3

A1A=

40

3

（5分）
（2）解以D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示．
由题意：B（2，2，0），D₁（0，0，4），A₁（2，0，4），C₁（0，2，4），（7分）

BD1

=(-2，-2，4)，

A1B

=(0，2，-4)，

A1C1

=(-2，2，0)，
设面A₁BC₁的法向量是

n

=(u，v，w)，则

2v-4w=0 -2u+2v=0

取v=2得，

n

=(2，2，1)（10分）
设

n

与

BD1

的夹角为φ，
则cosφ=-

6

9

设直线BD₁与面A₁BC₁所成的角为θ，
则sinθ=|cosφ|=

6

9

（12分）
得直线BD₁与面A₁BC₁所成的角为arcsin

6

9

（13分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，组合几何体的体积，直线与平面所成的角，其中熟练掌握棱柱、棱锥的几何特征，准确分析出组合体的组成是解答本题的关键．