Question

如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.

（1）已知椭圆和，判断与是否相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；

（2）若与椭圆相似且半短轴长为的椭圆为，且直线与椭圆为相交于两点(异于端点)，试问：当面积最大时， 是否与有关？并证明你的结论.

（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；

 

Answer 1

【答案】

见解析.

【解析】第一问中利用根据已知的的定义进行判定特征三角形是否相似即可

第二问中，设直线方程，借助于联立方程组，和韦达定理可以表示斜率之积，然后可知为定植

第三问中，利用类比推理的思想可知两个相似椭圆之间的性质有：           

两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比

解：（1）由题意可知，椭圆的焦点和上顶点分别为、，我们称为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比，所以椭圆与相似. ………2分

因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，

而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，

因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1                          ……… 4分

                                                                      

（2）椭圆的方程为：.

        = 与b无关                                 -----------6分

（3）椭圆的方程为：.        

两个相似椭圆之间的性质有：           

两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ---------------6分