Question

【题目】已知函数f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（3）证明： 且n＞1）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，

∴x＞1， ，

∵x＞1，∴当k≤0时， ＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数；

当k＞0时，f（x）在（1，1+ ）上是增函数，在（1+ ，+∞）上为减函数

（2）解：∵f（x）≤0恒成立，

∴x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x1）+1≤0，

∴x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，

∴k＞0．

由（1）知，f（x）max=f（1+ ）=ln ≤0，

解得k≥1．

故实数k的取值范围是[1，+∞）

（3）证明：令k=1，则由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2对x∈（1，+∞）恒成立，

即lnx≤x﹣1对x∈（0，+∞）恒成立．

取x=n2，则2lnn≤n2﹣1，

即 ，n≥2，

∴ 且n＞1）

【解析】（1）由f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，知x＞1， ，由此能求出f（x）的单调区间．（2）由f（x）≤0恒成立，知x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，故k＞0．f（x）max=f（1+ ）=ln ≤0，由此能求出实数k的取值范围．（3）令k=1，能够推导出lnx≤x﹣1对x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2 ， 得到 ，n≥2，由此能够证明 且n＞1）．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．