Question

【题目】双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为 ，其中A（a，0），B（0，﹣b）．
（1）求双曲线的方程；
（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知：双曲线 =1（a＞0，b＞0）的焦点在x轴上，

离心率为e= =2，即c=2a，

由A（a，0），B（0，﹣b），

∴直线AB的方程为：bx﹣ay﹣ab=0，

由点到直线的距离公式可知：d= = ，

由a2+b2=c2，

代入解得：a= ，b=3，c=2 ，

∴双曲线的标准方程为： ；

（2）解：由（1）可知：B1（0，3），B（0，﹣3）．

直线MN的斜率显然存在，设MN的方程为：y=kx﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），

由 ，整理得：（3﹣k2）x2+6kx﹣18=0，

△=36k2﹣4（﹣18）（3﹣k2）=﹣k2+6＞0，

解得：﹣ ＜k＜ ，

由韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ，

∴y1y2=k2x1x2﹣3k（x1+x2）+9，y1+y2=k（x1+x2）﹣6，

∵ =（x1，y1﹣3）， =（x2，y2﹣3）

由B1M⊥B1N，

∴ =0，

∴x1x2+（y1﹣3）（y2﹣3）=0，

x1x2+y1y2﹣3（y1+y2）+9=0，

∴（1+k2）x1x2﹣6k（x1+x2）+36=0，

将x1+x2= ，x1x2=﹣ ，代入整理得：k2=5，

解得：k=± ，满足﹣ ＜k＜ ，

∴直线MN的方程为：y= x﹣3或y=﹣ ﹣3．

【解析】（1）由题意可知：双曲线的焦点在x轴上，离心率为e= =2，即c=2a，由点（0，0）到直线bx﹣ay﹣ab=0的距离公式：d= = ，a2+b2=c2 ， 即可求得a和b的值，求得双曲线的方程；（2）由题意设直线MN的方程为：y=kx﹣3，代入双曲线方程，由△＞0，求得k的取值范围，由韦达定理可知：x1+x2=﹣ ，x1x2=﹣ ， =（x1 ， y1﹣3）， =（x2 ， y2﹣3），由B1M⊥B1N，则 =0，由向量数量积的坐标表示即可求得k的值，求得直线MN的方程．