Question

（本题满分14分）
已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值。

Answer 1

(1)(2) (3)

解析试题分析：解：(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x₀,y₀),
由   得
又点P在椭圆上,得,
∴线段PA中点M的轨迹方程是.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S_△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,设该直线方程为y=kx,代入,
解得B(,),C(－,－),
则,又点A到直线BC的距离d=,
∴△ABC的面积S_△ABC=
于是S_△ABC=
由≥－1,得S_△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S_△ABC的最大值是.
考点：椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系
点评：解决的关键是利用椭圆的性质得到a,b,c的关系式，同时联立方程组，结合韦达定理来表示轨迹方程，结合距离公式得到面积，属于基础题。