Question

平面直角坐标系xoy中，y轴上有一点A（0，1），在x轴上任取一点P，过点P作P A的垂线l．
（1）若l过点Q（3，2），求点P应取在何处；
（2）直线l能否过点R（3，3），并说明理由；
（3）点P在x轴上移动时，试确定直线l移动的区域（即直线l可以经过的点的集合），并在给定的坐标系中用阴影部分表示出来．

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标，利用P A的垂线l的关系，求出P 的坐标；
（2）直线l能否过点R（3，3），只需验证P A的垂线l是否成立，就是斜率之积等于-1，方程有解就通过；
（3）点P在x轴上移动时，设直线l经过B（x，y），P（a，0），利用方程有解，推出直线l可以经过的点的集合，在坐标系中用阴影部分表示出来，即可．

解答：解：（1）设P（a，0），由题意知AP⊥l，∴

0-1

a-0

×

0-2

a-3

=-1，∴a=1，或 a=2，
∴P （1，0） 或P（2，0）．
（2）假设直线l能否过点R（3，3），由题意知AP⊥l，∴

0-1

a-0

•

0-3

a-3

=-1，
a²-3a+3=0，判别式△=9-12＜0，故方程a²-3a+3=0 无解，故直线l不能过点R（3，3）．

（3）可设直线l经过B（x，y），P（a，0），
所以PB的方程为：y=ax-a²，即：a²-ax+y=0方程有解，所以x²-4y≥0，
即：y≤

x2

4

，就是直线l可以经过的点的集合在抛物线x²=4y上以及下部部分，如图：

点评：本题是中档题，考查直线过定点的问题，直线的垂直的应用，考查方程思想，绘图能力，计算能力．