Question

【题目】已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0 ， 且x0＞0，则a的取值范围为（ ）
A.（﹣∞，﹣2）
B.（﹣∞，0）
C.（2，+∞）
D.（1，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=± ，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；

当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣ ）=0，解得x=0或x= ＞0，列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0， ）		（ ，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，

不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．

当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣ ）=0，解得x=0或x= ＜0，列表如下：

x	（﹣∞， ）		（ ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，

∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（ ）=a（ ）3﹣3（ ）2+1＞0，

化为a2＞4，

∵a＜0，∴a＜﹣2．

综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．

故选：A．