Question

已知数列{a_n}的奇数项是公差为d₁的等差数列，偶数项是公差为d₂的等差数列，S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a₂=2．
（1）若S₅=16，a₄=a₅，求a₁₀；
（2）已知S₁₅=15a₈，且对任意n∈N^*，有a_n＜a_n+1恒成立，求证：数列{a_n}是等差数列；
（3）若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a_m=a_n．求当d₁最大时，数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定数列的前5项，利用S₅=16，a₄=a₅，建立方程，求出d₁=2，d₂=3，从而可求a₁₀；
（2）先证明d₁=d₂，再利用S₁₅=15a₈，求得d₁=d₂=2，从而可证数列{a_n}是等差数列；
（3）若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a_m=a_n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数．不妨设m为奇数，n为偶数，利用a_m=a_n，及d₁=3d₂，可得，从而可求当d₁最大时，数列{a_n}的通项公式．
解答：（1）解：根据题意，有a₁=1，a₂=2，a₃=a₁+d₁=1+d₁，a₄=a₂+d₂=2+d₂，a₅=a₃+d₁=1+2d₁
∵S₅=16，a₄=a₅，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=7+3d₁+d₂=16，2+d₂=1+2d₁
∴d₁=2，d₂=3．
∴a₁₀=2+4d₂=14
（2）证明：当n为偶数时，∵a_n＜a_n+1恒成立，∴2+，
∴（d₂-d₁）+1-d₂＜0
∴d₂-d₁≤0且d₂＞1
当n为奇数时，∵a_n＜a_n+1恒成立，∴，
∴（1-n）（d₁-d₂）+2＞0
∴d₁-d₂≤0
∴d₁=d₂
∵S₁₅=15a₈，∴8++14+=30+45d₂
∴d₁=d₂=2
∴a_n=n
∴数列{a_n}是等差数列；
（3）解：若d₁=3d₂（d₁≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a_m=a_n，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数
不妨设m为奇数，n为偶数
∵a_m=a_n，∴
∵d₁=3d₂，∴
∵m为奇数，n为偶数，∴3m-n-1的最小正值为2，此时d₁=3，d₂=1
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=．
点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．