Question

如图，在?OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别交与点M、N，若

OM

=x•

OA

，

ON

=y•

OB

．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）应充分利用平面向量的基本定理，找准基底将向量

OA

、

OB

分别利用基底表示，再结合向量的共线即可获得问题的解答．
（2）结合反比例函数的单调性，及函数图象的平移变换法则，可分析出f（x）的单调性，进而求出f（x）的值域

解答：解：（1）∵P，M，N三点共线，

OM

=x•

OA

，

ON

=y•

OB

．
则

ON

=λ

OM

+（1-λ）

OP

=λx•

OA

+（1-λ）（

OB

-

OA

），
∴y•

OB

=（1-λ）

OB

+（λx-1+λ）•

OA

∴y=1-λ，λx-1+λ=0
∴y=1-

1

1+x

=

x

1+x

（x≥0）
（2）∵y=

-1

x

在（0，+∞）上为增函数
∴y=

-1

x+1

在[0，+∞）上为增函数
∴y=1-

1

1+x

在[0，+∞）上为增函数
∴y∈[0，1）
故函数求f（x）的值域为[0，1）

点评：本题考查的知识点是平面向量的应用，其中三点共线的充要条件即P，M，N三点共线时

ON

=λ

OM

+（1-λ）

OP

是解答本题的关键．