Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=a-1（a≠0且a≠1），其前n项和为S_n，且当n≥2时，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

．
（Ⅰ）求证：数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若a=4，令bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

，记数列{b_n}的前n项和为T_n．设λ是整数，问是否存在正整数n，使等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

成立？若存在，求出n和相应的λ值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n=s_n-s_n-1得：

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

sn-sn-1

-

1

sn+1-sn

化简得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2）得到数列{S_n}是等比数列；（Ⅱ）由（1）得等比数列{S_n}的首项为1，公比为a，求出s_n，利用a_n=s_n-s_n-1得到即可；
（Ⅲ）根据a=4，令bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

，化简得到b_n的通项，并表示出前n项和公式T_n，代入到等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

中求出n和相应的λ值．

解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，

1

Sn

=

1

an

-

1

an+1

=

1

Sn-Sn-1

-

1

Sn+1-Sn

，
化简得S_n²=S_n-1S_n+1（n≥2），
又由S₁=1≠0，S₂=a≠0，可推知对一切正整数n均有S_n≠0，
∴数列{S_n}是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知等比数列{S_n}的首项为1，公比为a，
∴S_n=a^n-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a-1）a^n-2，
又a₁=S₁=1，
∴an=

1，????  (n=1) (a-1)an-2，?(n≥2).

（Ⅲ）当a=4，n≥2时，a_n=3×4^n-2，
此时bn=

9an

(an+3)(an+1+3)

=

9×3×4n-2

(3×4n-2+3)(3×4n-1+3)

=

3×4n-2

(4n-2+1)(4n-1+1)

=

1

4n-2+1

-

1

4n-1+1

，
又b1=

9a1

(a1+3)(a2+3)

=

3

8

，
∴bn=

3 8 ，???????(n=1) 1 4n-2+1 - 1 4n-1+1 ，?(n≥2)

T1=b1=

3

8

，
当n≥2时，
=

7

8

-

1

4n-1+1

．
若n=1，则等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

为

3

8

+

λ

5

=

7

8

，λ=

5

2

不是整数，不符合题意．
若n≥2，则等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

为

7

8

-

1

4n-1+1

+

λ

5×4n-1

=

7

8

，λ=5-

5

4n-1+1

∵λ是整数，∴4^n-1+1是5的因数．
∴当且仅当n=2时，

5

4n-1+1

是整数，∴λ=4
综上所述，当且仅当λ=4时，存在正整数n=2，使等式Tn+

3λ

5an+1

=

7

8

成立．

点评：考查学生利用等比数列求和公式的能力，数列求和公式的运用能力．