Question

已知

i

=(1，0)，

jn

=(cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)，

Pn

=(an，sin

nπ

2

)(n∈N+)，数列{an}满足：a1=1，a2=1，an+2=(i+

jn

)•

Pn

．
（I）求证：数列{a_2k-1}是等差数；数列{a_2k}是等比数列；（其中k∈N^*）；
（II）记a_n=f（n），对任意的正整数n≥2，不等式（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≤0，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由an+2=(

i

+

jn

)•

Pn

=(1+cos2

nπ

2

)an+sin

nπ

2

，知a_2k+1-a_2k-1=1．由此能够证明数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列．
（II）由a_2k-1=k，a_2k=2^k，知数列{a_n}的通项公式为a_n=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*).

，由此能够求出λ的取值范围是[

5

8

，1]．

解答：解：（I）an+2=(

i

+

jn

)•

Pn

=[(1，0)+(cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)]•(an，sin

nπ

2

)=(1+cos2

nπ

2

，sin

nπ

2

)•(an，sin

nπ

2

)
=(1+cos2

nπ

2

)an+sin

nπ

2

，…（2分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，
a2k+1=[1+cos2

(2k-1)π

2

]a2k-1+sin2

2k-1

2

π
=a_2k-1+1，即a_2k+1-a_2k-1=1．
所以数列{a_2k-1}是首项为1、公差为1的等差数列，…（4分）当n=2k(k∈N*)时，a2k+2=(1+cos2

2kπ

2

)a2k+sin2

2kπ

2

=2a2k．
所以数列{a_2k}是首项为2、公比为2的等比数列，…（6分）
（II）由（I）可知：a_2k-1=k，a_2k=2^k．
故数列{a_n}的通项公式为a_n=

n+1 2 ，n=2k-1(k∈N*) 2 n 2 ，n=2k(k∈N*).

…（7分）
当n为奇数时，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≥

f(n2)

f(2n)

=

n2+1

2n+1

令g（n）=

n2+1

2n-1

⇒g(n+1)-g(n)=

2n-n2

2n

＜0⇒g（n+1）＜g（n）
所以g（n）为单调递减函数，∴g（n）_max=g（3）=

5

8

⇒λ≥

5

8

…（10分）
当n为偶数时，（cosnπ）[f（n²）-λf（2n）]≥0?λ≤

f(n2)

f(2n)

=2

(n-1)2-1

2

令h(n)=2

(n-1)2-1

2

，显然h（n）为单调递增函数，
h（n）_min=h（2）=1⇒λ≤1
综上，λ的取值范围是[

5

8

，1]…（12分）

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．